函数单调性问题
- 题型特点
这类题目主要是通过求导来确定函数的单调区间，通常会给定一个函数,要求判断函数在定义域内的单调性或者根据函数的单调性求解参数的取值范围。
- 解题方法
- 首先对函数(y = f(x))求导得到(f^{\prime}(x))。
- 若(f^{\prime}(x)>0)在区间((a,b))内恒成立，则函数(f(x))在((a,b))上单调递增；若(f^{\prime}(x)<0)在区间((a,b))内恒成立，则函数(f(x))在((a,b))上单调递减。
- 对于含有参数的函数单调性问题，需要对参数进行分类讨论，函数(f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d)，求导得(f^{\prime}(x)=3ax^{2}+2bx + c)，a eq0)，当判别式(\Delta=(2b)^{2}-4\times3a\times c = 4b^{2}-12ac\leq0)时，(f^{\prime}(x))的符号由(a)决定，若(a>0)，则(f^{\prime}(x)\geq0)，函数在(\mathbb{R})上单调递增；若(a < 0)，则(f^{\prime}(x)\leq0)，函数在(\mathbb{R})上单调递减，当(\Delta>0)时，就需要根据二次函数的根来划分区间讨论导数的符号,进而确定函数的单调区间。
函数极值与最值问题
- 极值问题
- 题型特点：求函数的极值，包括极大值和极小值，题目可能会直接要求求出极值，也可能会结合函数的其他性质（如单调性）来考查极值的存在性和求解。
- 解题方法
- 先求函数(f(x))的导数(f^{\prime}(x))。
- 令(f^{\prime}(x)=0)，解方程得到可能的极值点(x_{0})。
- 检验(x{0})两侧导数的符号变化，如果在(x{0})左侧(f^{\prime}(x)>0)，右侧(f^{\prime}(x)<0)，f(x{0}))是函数的极大值；如果在(x{0})左侧(f^{\prime}(x)<0)，右侧(f^{\prime}(x)>0)，f(x_{0}))是函数的极小值，这种方法称为“导数法”判断极值，对于函数(f(x)=x^{3}-3x^{2}+2)，求导得(f^{\prime}(x)=3x^{2}-6x)，令(f^{\prime}(x)=0)，解得(x = 0)或(x = 2)，当(x<0)时，(f^{\prime}(x)>0)；当(0<x<2)时，(f^{\prime}(x)<0)；当(x>2)时，(f^{\prime}(x)>0)，x = 0)是函数的极大值点，极大值为(f(0)=2)；(x = 2)是函数的极小值点，极小值为(f(2)= - 2)。
- 最值问题
- 题型特点：求函数在某一区间([a,b])上的最小值或最大值，这在实际问题和函数性质的综合应用中经常出现，比如在几何图形中的最值问题、经济模型中的最优解问题等。
- 解题方法
求函数(f(x))在区间([a,b])上的最值，先求函数在该区间内的极值（按照上述极值的求法），然后比较极值和区间端点处的函数值(f(a))和(f(b))，因为连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值，所以最大值是所有极值和端点值中的最大者，最小值是所有极值和端点值中的最小者，对于函数(f(x)=x^{3}- 3x + 1)在区间([- 2,2])上，先求导(f^{\prime}(x)=3x^{2}-3)，令(f^{\prime}(x)=0)，解得(x = 1)或(x=-1)，计算函数值(f(-2)=-1)，(f(-1)=3)，(f(1)= - 1)，(f(2)=3)，所以函数在区间([-2,2])上的最大值是(3)，最小值是(-1)。
切线问题
- 题型特点
已知函数在某一点处的切线方程，求函数中的参数；或者已知函数，求函数在某一点处的切线方程，这类问题主要考查导数的几何意义,即函数在某一点处的导数等于该点处切线的斜率。
- 解题方法
- 若已知函数(f(x))在点((x{0},f(x{0})))处的切线方程为(y = kx + b)，根据导数的几何意义，(k = f^{\prime}(x{0}))，点((x{0},f(x{0})))在切线上，代入切线方程可得(f(x{0})=kx_{0}+b)，通过这两个方程可以求解函数中的参数或者切线方程中的参数，已知函数(f(x)=ax^{2}+bx + c)在点((1,2))处的切线方程为(y = 3x - 1)，求(a)，(b)，(c)的值，函数在(x = 1)处的导数(f^{\prime}(1)=2a\times1 + b = 3)，又因为点((1,2))在函数上，a\times1^{2}+b\times1 + c=2)，并且点((1,2))也在切线上，2 = 3\times1 - 1)，这个方程主要用于验证，通过解方程组(\begin{cases}2a + b = 3\a + b + c=2\end{cases})可以求出(a)，(b)，(c)的值。
- 若已知函数(f(x))，求在点((x{0},f(x{0})))处的切线方程，先求导数(f^{\prime}(x))，得到在点(x{0})处的导数值(k = f^{\prime}(x{0}))，然后利用点斜式方程(y - f(x{0})=k(x - x{0}))写出切线方程，对于函数(f(x)=\ln x)，求在点((e,1))处的切线方程，先求导(f^{\prime}(x)=\frac{1}{x})，在(x = e)处，导数值(k=\frac{1}{e})，根据点斜式方程，切线方程为(y - 1=\frac{1}{e}(x - e))，化简得(y=\frac{1}{e}x)。
不等式证明问题
- 题型特点
利用导数证明不等式，这些不等式通常和函数的单调性、极值等相关，题目给出的不等式可能是关于(x)的不等式，需要通过构造函数,利用导数来证明其在某个区间内的成立情况。
- 解题方法
- 首先观察不等式，构造合适的函数(f(x))，要证明不等式(e^{x}\geq x + 1)（(x\in\mathbb{R})），可以构造函数(f(x)=e^{x}-x - 1)。
- 然后求函数(f(x))的导数(f^{\prime}(x))，分析函数的单调性或者极值情况，对于上述函数(f(x)=e^{x}-x - 1)，求导得(f^{\prime}(x)=e^{x}-1)，令(f^{\prime}(x)=0)，解得(x = 0)，当(x<0)时，(f^{\prime}(x)<0)，函数单调递减；当(x>0)时，(f^{\prime}(x)>0)，函数单调递增，x = 0)是函数的极小值点，而(f(0)=e^{0}-0 - 1 = 0)，因为函数在(x = 0)处取得最小值(0)，所以对于任意(x\in\mathbb{R})，都有(f(x)\geq0)，即(e^{x}\geq x + 1)成立。
方程根的问题
- 题型特点
这类问题主要涉及利用导数判断方程根的个数或者根的范围，通常是将方程转化为函数问题，通过研究函数的单调性、极值和图像与横轴（即(y = 0)）的交点情况来确定方程根的情况。
- 解题方法
- 对于方程(f(x)=0)，设函数(y = f(x))，求导数(f^{\prime}(x))。
- 分析函数(y = f(x))的单调性、极值等情况，如果函数在某个区间内单调递增或递减，并且根据端点处的函数值符号可以判断该区间内方程根的情况，若函数在区间((a,b))内单调递增，且(f(a)<0)，(f(b)>0)，则根据零点存在定理，方程(f(x)=0)在区间((a,b))内有且只有一个实根，结合函数的极值情况可以判断方程根的总数，对于函数(f(x)=x^{3}-3x + 2)，求导得(f^{\prime}(x)=3x^{2}-3)，令(f^{\prime}(x)=0)，解得(x = 1)或(x=-1)。
