初中数学的学习中，压轴题往往是学生们感到最具挑战性的部分，这类题目通常综合性强，涉及多个知识点，需要学生具备扎实的基础、灵活的思维以及良好的解题策略,以下将详细阐述初中数学压轴题的解题技巧。
函数类压轴题解题技巧
- 一次函数与反比例函数综合
- 明确函数性质：对于一次函数 (y = kx + b)（(k eq0)），要牢记 (k) 决定直线的倾斜方向和倾斜程度，(b) 是直线与 (y) 轴交点的纵坐标，反比例函数 (y=\frac{k}{x})（(k eq0)），其图象是双曲线，(k) 的正负决定双曲线所在的象限。
- 联立方程求交点：当遇到两个函数相交的问题时，将它们的表达式联立组成方程组，已知一次函数 (y = x + 1) 和反比例函数 (y=\frac{2}{x})，求交点坐标，此时联立方程得到 (x + 1=\frac{2}{x})，两边同乘 (x) 转化为一元二次方程 (x^{2}+x - 2 = 0)，解这个方程就能得到交点的横坐标,再代入任意一个函数表达式求出纵坐标。
- 利用图象分析：根据函数图象的位置关系可以直观地获取很多信息，当一次函数的图象与反比例函数的图象有两个交点时，说明联立方程有两个不同的解；当直线与双曲线相切时，联立方程有一个解,此时可以利用判别式来确定一些参数的取值范围。
- 二次函数综合
- 掌握基本形式：二次函数的一般形式 (y = ax^{2}+bx + c)（(a eq0)），顶点式 (y = a(x - h)^{2}+k)，其中顶点坐标为 ((h,k))，还有交点式（与 (x) 轴有交点时）(y = a(x - x{1})(x - x{2}))（(x{1})、(x{2}) 是与 (x) 轴交点的横坐标）,要熟练进行这三种形式之间的转换。
- 确定系数：
- 已知三点坐标求二次函数解析式时，将三点坐标代入一般式，得到方程组，解方程组即可，已知二次函数经过点 ((1,0))、((0, - 3))、(( - 1, - 4))，代入 (y = ax^{2}+bx + c) 得到 (\begin{cases}a + b + c = 0\c = - 3\a - b + c=-4\end{cases})，解这个方程组就能得到 (a)、(b)、(c) 的值。
- 若已知顶点坐标和一点坐标，可设顶点式求解，已知顶点为 ((2,5))，且经过点 ((1,3))，代入顶点式 (y = a(x - 2)^{2}+5)，将 ((1,3)) 代入求出 (a) 的值。
- 若已知与 (x) 轴的两个交点坐标和一个其他点坐标，用交点式比较方便，与 (x) 轴交于 (( - 2,0)) 和 ((3,0))，且经过点 ((1, - 5))，设 (y = a(x + 2)(x - 3))，将 ((1, - 5)) 代入求出 (a)。
- 最值问题：二次函数的最值在顶点处取得，当 (a>0) 时，有最小值；当 (a<0) 时，有最大值，在解决实际问题中的最值问题时，如利润最大化、面积最大等，要先根据题意建立二次函数模型，然后通过配方法或公式法求出顶点坐标，从而得到最值，用长度为 (20m) 的篱笆围成一个矩形花园，一面靠墙，求花园的最大面积，设垂直于墙的一边长为 (xm)，则平行于墙的一边长为 ((20 - 2x)m)，面积 (S=x(20 - 2x)= - 2x^{2}+20x)，通过配方 (S = - 2(x - 5)^{2}+50) 可知当 (x = 5) 时，面积最大为 (50m^{2})。
- 与几何图形结合：
- 当二次函数与三角形、四边形等几何图形结合时，要注意利用几何图形的性质，二次函数与三角形的面积问题，可能需要先求出三角形各顶点的坐标，再利用坐标计算面积，若三角形的顶点在抛物线上，可通过联立方程求出交点坐标，然后根据三角形面积公式 (S=\frac{1}{2}\times底\times高) 或利用向量叉乘的方法来计算面积。
- 在与四边形结合的题目中，可能会涉及到平行四边形、矩形、菱形等特殊四边形的性质，已知二次函数图象上两点是平行四边形的一组对边的两个顶点，利用平行四边形对边平行且相等的性质，可设出另外两个顶点的坐标,代入二次函数解析式求解。
几何类压轴题解题技巧
- 三角形综合
- 全等与相似三角形的判定与性质：
- 全等三角形的判定有 (SSS)、(SAS)、(ASA)、(AAS)、(HL)（直角三角形），在证明全等时，要根据题目所给条件灵活选择合适的判定方法，已知两个三角形两边及其夹角相等，就可以用 (SAS) 判定全等，相似三角形的判定有 (AA)、(SAS)（两边成比例且夹角相等）、(SSS)（三边成比例），在利用相似三角形性质时，要注意对应边成比例，对应角相等，若 (\triangle ABC\sim\triangle A'B'C')，则有 (\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'})，(\angle A=\angle A')，(\angle B=\angle B')，(\angle C=\angle C')。
- 在复杂图形中，要学会寻找全等或相似三角形，有时候需要通过添加辅助线来构造全等或相似三角形，在一个不规则的四边形中，通过连接对角线将其分成两个三角形,再判断这两个三角形是否全等或相似。
- 三角函数的应用：在解三角形相关的压轴题时，三角函数是重要的工具，已知一个锐角和一条边，可以利用正弦定理 (\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R)（(R) 是三角形外接圆半径）或余弦定理 (a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A) 来求解其他边或角，在 (\triangle ABC) 中，已知 (\angle A = 30^{\circ})，(BC = 2)，求 (AB) 的长度，可以先利用正弦定理 (\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C})，但由于不知道 (\angle C) 的大小，还需要结合三角形内角和为 (180^{\circ}) 以及其他条件来求解。
- 动点问题中的三角形：在三角形中的动点问题，关键是找到动点运动过程中所形成的三角形与其他图形的关系，一个点在三角形的边上移动，要考虑它与三角形顶点形成的三角形的形状、面积的变化情况，可以通过设未知数表示动点的位置，利用几何知识和代数方法来求解相关问题，在 (\triangle ABC) 中，(AB = AC = 5)，(BC = 6)，点 (P) 从 (B) 出发沿 (BC) 以每秒 (1) 个单位的速度向 (C) 运动，同时点 (Q) 从 (C) 出发沿 (CA) 以每秒 (2) 个单位的速度向 (A) 运动，问经过多少秒后 (\triangle PCQ) 与 (\triangle ABC) 相似，设运动时间为 (t) 秒，则 (BP = t)，(CQ = 2t)，(PC = 6 - t)，根据相似三角形的判定条件列出方程求解 (t)。
- 全等与相似三角形的判定与性质：
- 四边形综合
- 平行四边形的判定与性质：平行四边形的判定有两组对边分别平行（定义）、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分，在解题时，要善于根据题目条件选择合适的判定方法，已知四边形 (ABCD) 中，(AB = CD)，(AD = BC)，就可以直接判定四边形 (ABCD) 是平行四边形，平行四边形的性质有对边相等、对角相等、对角线互相平分等，在利用性质时，要注意性质的双向性，由平行四边形对角线互相平分可以推出对角相等,反之亦然。
- 矩形、菱形、正方形的特殊性质与判定：
- 矩形是有一个角是直角的平行四边形，所以它既有平行四边形的所有性质，又有四个角都是直角、对角线相等的特殊性质，判定矩形可以从定义出发，或者通过证明一个平行四边形有一个角是直角,或者证明一个四边形的三个角是直角。
- 菱形是四条边都相等的平行四边形，它具有平行四边形的性质，同时对角线互相垂直且平分每组对角，判定菱形可以从定义出发，或者通过证明一个平行四边形的邻边相等,或者证明一个四边形的四条边都相等。
- 正方形既是矩形又是菱形，它兼具矩形和菱形的所有性质，判定正方形可以从定义出发，或者先证明它是矩形再证明邻边相等,或者先证明它是菱形再证明有一个角是直角。
- 四边形中的动点问题：在四边形中的动点问题比较复杂，在一个平行四边形中，一个点从一个顶点出发沿着边运动，同时另一个点从对边的某一点出发沿着另一边运动，要考虑它们运动过程中所形成的四边形的形状变化、面积变化等情况，解决这类问题通常需要设未知数表示动点的位置和运动时间，利用四边形的性质和几何知识建立方程或不等式来求解，在平行四边形 (ABCD) 中，(AB = 4)，(AD = 6)，点 (E) 从 (A) 出发沿 (AB) 以每秒 (1) 个单位的速度向 (B) 运动，点 (F) 从 (D) 出发沿 (DC) 以每秒 (2) 个单位的速度向 (C) 运动，问经过多少秒后四边形 (AEDF) 是菱形，设运动时间为 (t) 秒，则 (AE = t)，(DF = 2t)，因为 (AB = DC = 4)，(DE = AD - AE = 6 - t)，根据菱形的判定条件 (AE = DE) 列出方程求解 (t)。
综合类压轴题解题技巧
- 分类讨论思想：当题目中存在不确定因素，如动点的位置、参数的取值范围等可能导致不同的情况时，需要运用分类讨论思想，在几何图形中，一个动点可能在一条线段的不同位置产生不同的结果，或者一个参数可能使方程有不同的解的情况，以含参的一次函数 (y = kx + b) 与反比例函数 (y=\frac{m}{x}) 的交点问题为例，当联立方程 (kx + b=\frac{m}{x}) 后得到 (kx^{2}+bx - m = 0)，需要考虑 (k eq0) 且判别式 (b^{2}+4km) 的情况，当判别式大于零时，有两个不同的交点；等于零时，有一个交点（相切）；小于零时，没有交点,在每种情况下再进一步分析函数图象的位置关系和其他相关结论。
- 数形结合思想：数形结合是解决初中数学压轴题的重要方法，对于函数问题，可以通过画出函数图象来直观地理解函数的性质、交点等情况，对于二次函数 (y = ax^{2}+bx + c)，通过观察图象可以清楚地看到抛物线的开口方向、顶点位置、与坐标轴的交点等，在几何问题中，也可以利用代数方法来计算几何图形的量，在计算三角形的面积时，如果已知三角形三个顶点的坐标，可以利用坐标公式 (S=\frac{1}{2}|x{1}(y{2}-y{3})+x{2}(y{3}-y{1})+x{3}(y{1}-y_{2})|) 来计算面积，这就是将几何问题转化为代数问题来解决，同样，在解决一些代数问题时，也可以通过构造几何图形来帮助理解，利用数轴上的点来表示数,通过两点之间的距离来解决绝对值方程等问题。
- 转化与化归思想：把复杂的问题转化为简单的问题，把陌生的问题转化为熟悉的问题，在初中数学压轴题中，常常需要将综合问题分解为一个个小问题来解决，在一个涉及二次函数和几何图形的压轴题中，可能先通过求解二次函数的解析式将几何问题中的坐标确定下来，然后再利用几何知识来求解面积、长度等问题。
