函数类压轴题
- 明确函数类型与性质
- 对于一次函数(y = kx + b)（(k≠0)），要清楚其图象是一条直线，(k)决定直线的倾斜方向和程度，(b)是直线与(y)轴的交点，比如当(k>0)时，函数值随(x)的增大而增大；当(k<0)时，函数值随(x)的增大而减小。
- 二次函数(y = ax²+bx + c)（(a≠0)），它的图象是抛物线，首先要确定抛物线的开口方向（由(a)的正负决定，(a>0)开口向上，(a<0)开口向下）、对称轴（(x =-\frac{b}{2a})）和顶点坐标（((-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b²}{4a}))，这些性质在解题中经常用于分析函数的最值、增减性等。
- 反比例函数(y=\frac{k}{x})（(k≠0)），其图象是双曲线，分布在两个象限内，当(k>0)时，图象位于一、三象限，在每个象限内(y)随(x)的增大而减小；当(k<0)时，图象位于二、四象限，在每个象限内(y)随(x)的增大而增大。
- 联立方程组求解交点问题
当题目中涉及到多个函数相交的情况，例如一次函数与二次函数相交，就需要联立它们的方程来求交点坐标，如求一次函数(y = x + 1)与二次函数(y = x² - 3x + 2)的交点，将(y = x + 1)代入(y = x² - 3x + 2)，得到(x + 1=x² - 3x + 2)，整理为(x² - 4x + 1 = 0)，然后利用求根公式或因式分解等方法解这个一元二次方程，得到的(x)值就是交点的横坐标，再代入其中一个函数表达式求出对应的(y)值,就得到了交点坐标。
- 利用函数图象分析问题
对于一些复杂的函数问题，画出函数图象可以更直观地理解题意，比如在讨论二次函数与一次函数的交点个数问题时，通过观察抛物线与直线的相对位置关系，就可以快速判断交点个数，当抛物线与直线相离时，无交点；当抛物线与直线相切时，有一个交点；当抛物线与直线相交时，有两个交点，还可以利用图象分析函数值的大小关系，在图象上,上方的函数值大于下方的函数值。
- 参数问题的处理
在一些函数压轴题中，会出现参数，例如已知二次函数(y = x²+bx + c)经过某两点，且与(x)轴有不同的交点情况，求(b)和(c)的范围，首先根据经过的点代入函数式得到关于(b)和(c)的方程，再利用判别式(\Delta = b² - 4ac)（这里是(\Delta = b² - 4c)）来判断与(x)轴的交点情况，如果要求有两个不同的交点，\Delta>0)，从而得到一个关于(b)和(c)的不等式，结合前面得到的方程,就可以求解参数的范围。
几何类压轴题
- 添加辅助线的技巧
- 构造全等三角形或相似三角形：在几何图形中，如果发现有相等的边或角的条件隐含其中，可以考虑添加辅助线来构造全等三角形或相似三角形，例如在一个不规则的四边形中，通过对角线将其分成两个三角形，如果能够证明这两个三角形全等或者相似,就可以利用全等或相似的性质来求解边长或角度等问题。
- 利用中线、高线、角平分线等特殊线段：在三角形相关问题中，添加中线可以把三角形分成面积相等的两部分，并且可以利用中线定理（如在(\triangle ABC)中，(AD)是中线，则(BD = DC)，且有(AB²+AC² = 2(AD²+BD²))）来解题，添加高线可以将三角形的面积与边长联系起来，因为三角形面积等于底乘以高除以(2)，角平分线相关的辅助线添加后，可以利用角平分线定理（如在(\triangle ABC)中，(AD)是角平分线，则(\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC})）。
- 构造平行四边形或特殊四边形：对于四边形问题，如果题目中有对边平行或者相等的条件，可以尝试添加辅助线构造平行四边形，例如在梯形问题中，通过平移一腰或者延长两腰相交等操作，构造出平行四边形，利用平行四边形的性质（对边相等、对角相等、对角线互相平分等）来解题。
- 利用几何模型解题
- 直角三角形模型：在很多几何压轴题中，会出现直角三角形，要熟悉直角三角形的性质，如勾股定理（在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方），还要注意直角三角形中的一些特殊角（如(30°)、(60°)、(90°)）所对应的边的比例关系（在(30°)所对的直角边是斜边的一半等）。
- 相似三角形模型：当题目中出现平行线或者有相等的角时，要考虑相似三角形的模型，利用相似三角形的对应边成比例、对应角相等的性质来求解线段长度或者角度大小，例如在测量河宽的问题中，可以通过构造相似三角形,利用已知的线段比例来求出河宽。
- 圆的相关模型：如果是圆相关的压轴题，要牢记圆的性质，如垂径定理（垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧）、圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半）等，在涉及切线的问题中，要记住切线的性质（圆的切线垂直于过切点的半径）。
- 动态几何问题的解题思路
- 对于动态几何压轴题，首先要明确动点的运动轨迹和条件，例如在一个三角形中，一个点沿着某条边以一定的速度运动，要考虑在这个运动过程中，与其他几何元素（如边长、角度、其他点的位置等）的关系是如何变化的。
- 可以采用分类讨论的思想，根据动点的不同位置情况，分别进行分析，比如当动点在某个边的延长线上、在边上、在三角形内部等不同情况，分别画出相应的图形，然后利用几何知识进行求解，要注意一些不变量的存在，在动态变化过程中，有些几何关系可能是始终不变的,抓住这些不变量可以简化解题过程。
综合类压轴题（函数与几何结合）
- 建立函数模型解决几何问题
在一些几何图形的变化过程中，可以将几何量（如线段长度、面积等）用函数来表示，例如在矩形的长和宽变化过程中，面积可以表示为长和宽的乘积，如果长或宽是某个变量的函数，那么面积就是这个变量的函数，通过建立这种函数关系，可以利用函数的性质（如最值、单调性等）来解决几何问题,比如求矩形的最大面积等。
- 利用几何条件求解函数问题
反过来，在函数问题中如果出现几何条件，要善于利用几何知识来简化函数问题，例如在二次函数图象与几何图形（如三角形、四边形）相结合的问题中，通过几何条件可以确定二次函数中的参数，或者利用几何图形的性质（如对称性）来求解函数的最值等问题。
