求函数的导数
- 基本初等函数的导数
- 对于幂函数(y = x^{\alpha})（(\alpha)为常数），其导数(y'=\alpha x^{\alpha - 1})。(y = x^{3})，则(y'=3x^{2})；(y = x^{-2})，则(y'=-2x^{-3})。
- 指数函数(y = a^{x})（(a>0)且(a eq1)）的导数(y'=a^{x}\ln a)，如(y = 2^{x})，则(y'=2^{x}\ln2)。
- 对数函数(y = \log_{a}x)（(a>0)且(a eq1)）的导数(y'=\frac{1}{x\ln a})，像(y = \ln x)，则(y'=\frac{1}{x})。
- 三角函数中，(y = \sin x)，(y'=\cos x)；(y = \cos x)，(y'=-\sin x)；(y = \tan x)，(y'=\sec^{2}x)等。
- 和差积商的导数法则
- 加法法则：若(f(x))和(g(x))都可导，[f(x)\pm g(x)]'=f'(x)\pm g'(x))，已知(f(x)=x^{2}+\sin x)，则(f'(x)=2x + \cos x)。
- 乘法法则：([f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x))，f(x)=x)，(g(x)=\ln x)，则((x\ln x)'=1\times\ln x + x\times\frac{1}{x}=\ln x + 1)。
- 除法法则：(\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}})（(g(x) eq0)）。(f(x)=x^{2})，(g(x)=\cos x)，则(\left(\frac{x^{2}}{\cos x}\right)'=\frac{2x\cos x - x^{2}(-\sin x)}{\cos^{2}x}=\frac{2x\cos x + x^{2}\sin x}{\cos^{2}x})。
- 复合函数的导数
- 设(y = f(u))，而(u = g(x))，且(f(u))和(g(x))都可导，则复合函数(y = f(g(x)))的导数为(y'{x}=y'{u}\cdot u'{x})。(y = \sin(2x + 1))，令(u = 2x + 1)，则(y = \sin u)，(y'{u}=\cos u)，(u'{x}=2)，y'{x}=\cos(2x + 1)\times2 = 2\cos(2x + 1))。
利用导数求函数的单调性
- 一般步骤
- 首先确定函数的定义域。
- 求函数的导数(f'(x))。
- 解不等式(f'(x)>0)，得到函数单调递增的区间；解不等式(f'(x)<0),得到函数单调递减的区间。
- 示例
对于函数(f(x)=x^{3}-3x^{2}+1)，其导数(f'(x)=3x^{2}-6x)，令(f'(x)>0)，即(3x^{2}-6x>0)，解得(x < 0)或(x>2)，所以在区间((-\infty,0))和((2,+\infty))上函数单调递增；令(f'(x)<0)，即(3x^{2}-6x<0)，解得(0<x<2)，在区间((0,2))上函数单调递减。
利用导数求函数的极值
- 极值的定义与判定条件
- 设函数(f(x))在点(x{0})及其附近有定义，如果对(x{0})附近的所有的点，都有(f(x)< f(x{0}))（或(f(x)>f(x{0}))），那么就称(f(x_{0}))是函数的一个极大值（或极小值）。
- 若函数(f(x))在(x{0})处可导，且(x{0})是函数的极值点，则(f'(x{0}) = 0)，但反过来，(f'(x{0}) = 0)时，(x_{0})不一定是极值点，函数(f(x)=x^{3})，(f'(0)=0)，但(x = 0)不是极值点。
- 当(f'(x{0}) = 0)时，判断极值的方法：如果在(x{0})附近的左侧(f'(x)>0)，右侧(f'(x)<0)，f(x{0}))是极大值；如果在(x{0})附近的左侧(f'(x)<0)，右侧(f'(x)>0)，f(x_{0}))是极小值。
- 求解步骤
- 求函数的导数(f'(x))。
- 令(f'(x)=0),求出可能的极值点。
- 利用上述判定条件判断这些点是否为极值点,以及是极大值还是极小值。
- 示例
对于函数(f(x)=x^{3}-3x + 1)，其导数(f'(x)=3x^{2}-3)，令(f'(x)=0)，解得(x = 1)或(x=-1)，当(x<-1)时，(f'(x)>0)；当(-1<x<1)时，(f'(x)<0)；当(x>1)时，(f'(x)>0)，x=-1)是极大值点，极大值为(f(-1)=(-1)^{3}-3\times(-1)+1 = 3)；(x = 1)是极小值点，极小值为(f(1)=1^{3}-3\times1 + 1=-1)。
利用导数求函数的最值
- 闭区间上的最值求法
设函数(f(x))在闭区间([a,b])上连续，在开区间((a,b))内可导，先求出函数在区间内的极值，再比较函数在端点和极值点的函数值，最大的就是最大值,最小的就是最小值。
- 示例
对于函数(f(x)=x^{3}-3x^{2}+2)在区间([0,3])上，先求导数(f'(x)=3x^{2}-6x)，令(f'(x)=0)，解得(x = 0)或(x = 2)，计算函数值：(f(0)=0 - 0+2 = 2)，(f(2)=8 - 12+2=-2)，(f(3)=27 - 27 + 2 = 2)，所以函数在区间([0,3])上的最大值是(2)，最小值是(-2)。
利用导数证明不等式
- 构造函数法
根据不等式的形式构造合适的函数，通过求导分析函数的单调性、极值等情况,从而证明不等式。
- 示例
证明：当(x>0)时，(\ln(x + 1)>x-\frac{1}{2}x^{2})，构造函数(f(x)=\ln(x + 1)-x+\frac{1}{2}x^{2})，求导得(f'(x)=\frac{1}{x + 1}-1 + x=\frac{1}{x + 1}-(1 - x))，进一步化简分析可得函数在(x>0)时的单调性，进而证明不等式成立
