求函数的导数
- 基本初等函数的导数
- 对于幂函数(y = x^n)（(n\in Q)），其导数(y'=nx^{n - 1})。(y = x^{3})的导数(y'=3x^{2})。
- 指数函数(y = a^{x})（(a>0)且(a eq1)）的导数(y'=a^{x}\ln a)，如(y = 2^{x})，则(y'=2^{x}\ln2)。
- 对数函数(y=\ln x)的导数(y'=\frac{1}{x})，而(y=\log_{a}x)（(a>0)且(a eq1)）的导数(y'=\frac{1}{x\ln a})。
- 三角函数中，(y = \sin x)的导数(y'=\cos x)，(y=\cos x)的导数(y'=-\sin x)，(y=\tan x)的导数(y'=\sec^{2}x)。
- 和差积商的导数法则
- 加法法则：若(f(x))和(g(x))可导，则([f(x)\pm g(x)]'=f'(x)\pm g'(x))，已知(f(x)=x^{2}+\sin x)，则(f'(x)=2x + \cos x)。
- 乘法法则：([f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x))，f(x)=x)，(g(x)=\cos x)，则((x\cos x)'=\cos x - x\sin x)。
- 除法法则：(\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}})（(g(x) eq0)）。(f(x)=\sin x)，(g(x)=\cos x)，则(\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)'=\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^{2}x}=\frac{1}{\cos^{2}x}=\sec^{2}x)。
- 复合函数的导数
设(y = f(u))，(u = g(x))，则(y'=f'(u)g'(x))。(y = \sin(2x + 1))，这里(u = 2x+1)，则(y'=\cos(2x + 1)\times2 = 2\cos(2x+1))。
利用导数求函数的单调性
- 一般步骤
- 先求函数(y = f(x))的导数(f'(x))。
- 解不等式(f'(x)>0)，得到函数的单调递增区间；解不等式(f'(x)<0),得到函数的单调递减区间。
- 对于函数(f(x)=x^{3}-3x^{2})，先求导得(f'(x)=3x^{2}-6x)，令(f'(x)>0)，即(3x^{2}-6x>0)，解得(x < 0)或(x>2)，所以函数在区间((-\infty,0))和((2,+\infty))上单调递增；令(f'(x)<0)，即(3x^{2}-6x<0)，解得(0 < x<2)，所以函数在区间((0,2))上单调递减。
- 含参数的单调性问题
当函数中含有参数时，需要对参数进行分类讨论，函数(f(x)=ax^{2}+bx+c)（(a eq0)），其导数(f'(x)=2ax + b)，当(a>0)时，若(f'(x)>0)，即(2ax + b>0)，解得(x>-\frac{b}{2a})，此时函数在区间(\left(-\frac{b}{2a},+\infty\right))上单调递增，在区间(\left(-\infty,-\frac{b}{2a}\right))上单调递减；当(a < 0)时,情况相反。
利用导数求函数的极值
- 极值的定义与判定条件
- 如果函数(y = f(x))在点(x{0})处及其附近有定义，且(f(x{0}))比(x{0})附近所有点的函数值都大（或小），则称(f(x{0}))是函数的一个极大值（或极小值）。
- 若(x{0})是函数(y = f(x))的极值点，则(f'(x{0}) = 0)，但反过来不一定成立，函数(y = x^{3})，在(x = 0)处导数为(0),但该点不是极值点。
- 判断极值的方法：若在(x{0})附近，当(x<x{0})时，(f'(x)>0)，当(x>x{0})时，(f'(x)<0)，则(x{0})是函数的极大值点；若在(x{0})附近，当(x<x{0})时，(f'(x)<0)，当(x>x{0})时，(f'(x)>0)，则(x{0})是函数的极小值点。
- 求极值的步骤
- 求函数的导数(f'(x))。
- 令(f'(x)=0),求出可能的极值点。
- 利用极值的判定条件判断这些点是否为极值点,并求出极值。
- 对于函数(f(x)=x^{3}-3x^{2}+2)，先求导得(f'(x)=3x^{2}-6x)，令(f'(x)=0)，解得(x = 0)或(x = 2)，当(x < 0)时，(f'(x)>0)；当(0 < x<2)时，(f'(x)<0)；当(x>2)时，(f'(x)>0)，x = 0)是极大值点，极大值为(f(0)=2)；(x = 2)是极小值点，极小值为(f(2)= - 2)。
利用导数求函数的最值
- 闭区间上的最值
- 设函数(y = f(x))在区间([a,b])上连续，在区间((a,b))内可导，先求出函数在区间内的极值点和端点处的函数值，再比较这些值的大小，其中最大的就是函数在该区间上的最大值,最小的就是最小值。
- 求函数(f(x)=x^{3}-3x^{2}+2)在区间([-1,3])上的最值，先求导得(f'(x)=3x^{2}-6x)，令(f'(x)=0)，解得(x = 0)或(x = 2)，计算函数值：(f(-1)= - 2)，(f(0)=2)，(f(2)= - 2)，(f(3)=2)，所以函数在区间([-1,3])上的最大值为(2)，最小值为(-2)。
- 开区间上的最值
对于开区间上的函数，如果函数在该区间内有极值点，则极值可能是最值；如果没有极值点，则需要结合函数的单调性和极限来判断，函数(y = \frac{1}{x})在区间((0,+\infty))上没有极值点，但函数在区间内单调递减，且当(x\to0^{+})时，(y\to+\infty)；当(x\to+\infty)时，(y\to0)，所以函数在该区间内没有最大值，最小值为趋近于(0)。
利用导数证明不等式
- 构造函数法
根据不等式的结构构造一个函数，然后利用导数研究函数的单调性、极值等性质来证明不等式，要证明当(x>0)时，(\ln(x + 1)>x - x^{2})，可以构造函数(f(x)=\ln(x + 1)-x + x^{2})，然后求导分析其单调性,进而证明不等式成立。
- 利用函数的极值或最值
找到不等式两边函数的差函数，通过求导分析差函数的极值或最值情况来证明不等式，要证明对于任意实数(x)，都有(e^{x}\geq x + 1)，可以构造差函数(f(x)=e^{x}-x - 1)，求导得(f'(x)=e^{x}-1)，分析可得当(x = 0)时，函数取得最小值(0)，所以对于任意实数(x)，都有(e^{x}\geq x + 1\
