求函数的导数
- 基本初等函数的导数
- 对于幂函数(y = x^n)（(n)为常数），其导数(y'=nx^{n - 1})。(y = x^3)，则(y'=3x^2)。
- 对于指数函数(y = a^x)（(a>0)且(a eq1)），导数(y'=a^x\ln a)，如(y = 2^x)，(y'=2^x\ln2)。
- 对于对数函数(y=\ln x)，导数(y'=\frac{1}{x})；对于(y=\log_a x)（(a>0)且(a eq1)），导数(y'=\frac{1}{x\ln a})。
- 对于三角函数,(y = \sin x)，(y'=\cos x)；(y = \cos x)，(y'=-\sin x)；(y=\tan x)，(y'=\sec^{2}x)等。
- 和、差、积、商的导数
- 和（差）函数的导数：若(y = f(x)\pm g(x))，则(y'=f'(x)\pm g'(x))。(y = x^2 + \sin x)，(y'=2x+\cos x)。
- 积函数的导数：若(y = f(x)g(x))，则(y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x))。(y = x\cdot e^x)，(y'=e^x + xe^x=(x + 1)e^x)。
- 商函数的导数：若(y=\frac{f(x)}{g(x)})（(g(x) eq0)），则(y'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2})。(y=\frac{\sin x}{x})，(y'=\frac{\cos x\cdot x-\sin x\cdot1}{x^2}=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2})。
- 复合函数的导数
设(y = f(u))，(u = g(x))，则复合函数(y = f(g(x)))的导数(y'=f'(u)\cdot g'(x))。(y =(\sin x)^2)，这里外函数是(y = u^2)，内函数是(u=\sin x)，则(y'=2u\cdot\cos x = 2\sin x\cos x=\sin2x)。
利用导数研究函数的单调性
- 求函数的单调区间
一般步骤是先求函数的导数(y')，然后解不等式(y'>0)得到函数的单调递增区间，解不等式(y'<0)得到函数的单调递减区间，对于函数(y = x^3 - 3x^2)，求导得(y'=3x^2 - 6x)，令(y'>0)，即(3x^2 - 6x>0)，解得(x < 0)或(x>2)，所以函数在区间((-\infty,0))和((2,+\infty))上单调递增；令(y'<0)，解得(0 < x<2)，所以在区间((0,2))上单调递减。
- 已知函数单调性求参数范围
已知函数(f(x)=ax^3 - bx+1)在区间([1,+\infty))上是单调递增函数，求(a)、(b)满足的条件，首先求导(f'(x)=3ax^2 - b)，因为函数在([1,+\infty))上单调递增，f'(x)\geq0)在([1,+\infty))上恒成立，当(a>0)时，(3ax^2 - b\geq0)在([1,+\infty))上恒成立，只要(3a - b\geq0)即可；当(a = 0)时，(-b\geq0)，即(b\leq0)，但此时函数不是三次函数，不符合题意，综合可得(a>0)且(3a - b\geq0)。
利用导数研究函数的极值与最值
- 求函数的极值
先求导函数(y')，令(y' = 0)得到可能的极值点，然后判断这些点两侧导数的符号变化，如果左侧导数为正，右侧导数为负，则该点为极大值点；如果左侧导数为负，右侧导数为正，则该点为极小值点，函数(y = x^3 - 3x)，求导得(y'=3x^2 - 3)，令(y' = 0)，解得(x = 1)或(x=-1)，当(x<-1)时，(y'>0)；当(-1 < x < 1)时，(y'<0)；当(x>1)时，(y'>0)，x=-1)是极大值点，极大值为(f(-1)=2)；(x = 1)是极小值点，极小值为(f(1)=-2)。
- 求函数的最值
在闭区间([a,b])上的连续函数一定有最大值和最小值，求函数的最值时，先求函数在区间内的极值，再比较端点的函数值和极值的大小，求函数(y = x^3 - 3x+1)在区间([- 2,2])上的最大值和最小值，先求导(y'=3x^2 - 3)，令(y' = 0)，得(x = 1)或(x=-1)，计算函数在端点和极值点的值：(f(-2)=(-2)^3 - 3\times(-2)+1=-8 + 6+1 = -1)，(f(-1)=(-1)^3 - 3\times(-1)+1=-1 + 3+1 = 3)，(f(1)=1^3 - 3\times1+1 = 1 - 3+1=-1)，(f(2)=2^3 - 3\times2+1=8 - 6+1 = 3)，所以函数在区间([-2,2])上的最大值是3，最小值是 - 1。
利用导数证明不等式
- 构造函数法
证明当(x>0)时，(\ln(x + 1)>x - \frac{1}{2}x^2)，可以设函数(f(x)=\ln(x + 1)-x+\frac{1}{2}x^2)，求导得(f'(x)=\frac{1}{x + 1}-1 + x=\frac{1 - (x + 1)+x(x + 1)}{x + 1}=\frac{x^2}{x + 1})，因为(x>0)，f'(x)>0)，即函数(f(x))在((0,+\infty))上单调递增，又因为(f(0)=0)，所以当(x>0)时，(f(x)>0)，即(\ln(x + 1)>x - \frac{1}{2}x^2)。
- 利用函数的单调性或极值
已知函数(f(x)=e^{x} - ax - 1)，a>0)，证明函数有且只有一个零点，先求导(f'(x)=e^{x} - a)，令(f'(x)=0)，得(x=\ln a)，当(x<\ln a)时，(f'(x)<0)，函数单调递减；当(x>\ln a)时，(f'(x)>0)，函数单调递增，所以函数在(x=\ln a)处取得极小值，又因为当(x\to-\infty)时，(e^{x}\to0)，而(-ax - 1\to+\infty)，f(x)\to+\infty)；当(x\to+\infty)时，(e^{x})增长得比线性函数快，f(x)\to+\infty)，又因为极小值(f(\ln a)=e^{\ln a} - a\ln a - 1 = a - a\ln a - 1 = a(1-\ln a)-1)，因为(a>0)，当(a = e)时，极小值为0；当(a eq e)时，极小值小于0。
