导数的概念与几何意义相关题型
- 求函数在某点的导数值
- 这类题目通常是直接根据导数的定义或基本求导公式来计算,给定函数(f(x)=x^{2})，求(f^{\prime}(3))，根据幂函数的求导法则，(f^{\prime}(x)=2x)，f^{\prime}(3)=2\times3 = 6)，对于一些由基本初等函数经过四则运算组成的函数，如(f(x)=\sin x + \cos x)，利用三角函数的求导公式(\sin x)的导数是(\cos x)，(\cos x)的导数是(-\sin x)，可得(f^{\prime}(x)=\cos x-\sin x)。
- 对于分段函数在分段点处的导数,需要分别求出左右导数，若左右导数相等，则导数存在，否则不存在，函数(f(x)\begin{cases}x^{2},x\geq0\ -x^{2},x < 0\end{cases})，在(x = 0)处，先求右导数(f^{\prime}{+}(0)=\lim\limits{x\to0^{+}}\frac{f(x)-f(0)}{x - 0}=\lim\limits{x\to0^{+}}\frac{x^{2}-0}{x}=0)，左导数(f^{\prime}{-}(0)=\lim\limits{x\to0^{-}}\frac{f(x)-f(0)}{x - 0}=\lim\limits{x\to0^{-}}\frac{-x^{2}-0}{x}=0)，因为左右导数相等，f^{\prime}(0)=0)。
- 已知导数求原函数
这是导数运算的逆运算,如果已知(f^{\prime}(x)=2x)，那么原函数(f(x)=x^{2}+C)（(C)为常数），对于一些简单的组合导数，如(f^{\prime}(x)=\frac{1}{x})，则(f(x)=\ln|x|+C)，在求解过程中，要注意积分常数(C)的存在，因为它代表了一族函数，这些函数的导数都是相同的。
- 利用导数的几何意义求切线方程
导数的几何意义是函数在某一点处的切线斜率,已知函数(y = f(x))在点((a,f(a)))处的切线方程为(y = k(x - a)+f(a))，k = f^{\prime}(a))，对于函数(y = x^{3})在点((1,1))处的切线方程，先求导数(y^{\prime}=3x^{2})，在(x = 1)处的导数值(y^{\prime}(1)=3\times1^{2}=3)，所以切线方程为(y = 3(x - 1)+1)，化简为(y = 3x - 2)。
导数与函数单调性相关题型
- 确定函数的单调区间
- 一般步骤是先求函数的导数,然后令导数大于零，解不等式得到函数的递增区间；令导数小于零，解不等式得到函数的递减区间，对于函数(f(x)=x^{3}-3x^{2})，求导得(f^{\prime}(x)=3x^{2}-6x)，令(f^{\prime}(x)>0)，即(3x^{2}-6x>0)，解得(x < 0)或(x>2)，所以函数在区间((-\infty,0))和((2,+\infty))上单调递增；令(f^{\prime}(x)<0)，即(3x^{2}-6x < 0)，解得(0<x<2)，所以函数在区间((0,2))上单调递减。
- 对于含有参数的函数,要根据参数的不同取值情况来讨论函数的单调性，函数(f(x)=ax^{2}+bx + c)（(a eq0)），其导数(f^{\prime}(x)=2ax + b)，当(a>0)时，若(2ax + b>0)，即(x >-\frac{b}{2a})，函数单调递增；若(2ax + b < 0)，即(x < -\frac{b}{2a})，函数单调递减，当(a < 0)时，情况相反。
- 利用单调性证明不等式
通过构造函数,利用函数的单调性来证明不等式，要证明当(x>0)时，(\ln(x + 1)>x-\frac{1}{2}x^{2})，可以构造函数(f(x)=\ln(x + 1)-x+\frac{1}{2}x^{2})，求导得(f^{\prime}(x)=\frac{1}{x + 1}-1 + x = \frac{1 - (x + 1) + x(x + 1)}{x + 1}=\frac{x^{2}}{x + 1})，因为(x>0)，f^{\prime}(x)>0)，函数(f(x))在((0,+\infty))上单调递增，又因为(f(0)=0)，所以当(x>0)时，(f(x)>0)，即(\ln(x + 1)>x-\frac{1}{2}x^{2})。
导数与函数极值、最值相关题型
- 求函数的极值
- 首先求函数的导数,令导数等于零，得到驻点，然后判断驻点两侧导数的符号变化情况，如果在驻点左侧导数由正变负，右侧由负变正，那么该驻点是极小值点；如果在驻点左侧导数由负变正，右侧由正变负，那么该驻点是极大值点，函数(f(x)=x^{3}-3x)，求导得(f^{\prime}(x)=3x^{2}-3)，令(f^{\prime}(x)=0)，解得(x = 1)或(x=-1)，对于(x = 1)，当(x<1)且接近(1)时，取(x = 0.5)，(f^{\prime}(0.5)=3\times(0.5)^{2}-3=-1.5 < 0)；当(x>1)且接近(1)时，取(x = 1.5)，(f^{\prime}(1.5)=3\times(1.5)^{2}-3 = 3.75>0)，所以在(x = 1)处函数取得极小值，同理可判断(x=-1)处是极大值点。
- 对于一些复杂的函数,可能需要结合二阶导数来判断极值，如果函数在驻点处的二阶导数大于零，则是极小值点；如果二阶导数小于零，则是极大值点，函数(f(x)=e^{x}-x^{2})，一阶导数(f^{\prime}(x)=e^{x}-2x)，二阶导数(f^{\prime\prime}(x)=e^{x}-2)，令(f^{\prime}(x)=0)，这个方程可能较难求解，但假设我们找到一个驻点(x = a)，若(f^{\prime\prime}(a)>0)，则(x = a)是极小值点；若(f^{\prime\prime}(a)<0)，则是极大值点。
- 求函数的最值
- 对于闭区间上的连续函数,最值可能在端点或极值点处取得，先求出函数在区间内的极值点，然后计算函数在这些极值点和端点处的函数值，比较大小得到最值，函数(f(x)=x^{3}-3x^{2}+2)在区间([-1,2])上，先求导数(f^{\prime}(x)=3x^{2}-6x)，令(f^{\prime}(x)=0)，解得(x = 0)或(x = 2)，计算函数在端点和极值点处的值：(f(-1)=(-1)^{3}-3\times(-1)^{2}+2=-1 - 3+2=-2)，(f(0)=0 - 0 + 2 = 2)，(f(2)=2^{3}-3\times2^{2}+2 = 8 - 12+2=-2)，所以函数在区间([-1,2])上的最大值是(2)，最小值是(-2)。
- 在实际问题中,如利润最大化、成本最小化等问题，往往需要建立函数模型，然后利用导数求最值来解决，某工厂生产某种产品的成本函数为(C(x)=x^{3}-6x^{2}+15x + 10)（(x)为产量），收入函数为(R(x)=28x)，利润函数为(L(x)=R(x)-C(x)= - x^{3}+6x^{2}-15x + 28x - 10=-x^{3}+6x^{2}+13x - 10)，求导得(L^{\prime}(x)=-3x^{2}+12x + 13)，令(L^{\prime}(x)=0)，解得驻点（这里可能需要用求根公式等方法求解），然后通过判断这些驻点是否是极值点以及计算端点处的利润值，来确定最大利润对应的产量。
导数的综合应用题型
- 导数与不等式的综合
已知函数(f(x)=e^{x}-ax - 1)，当(x\geq0)时，(f(x)\geq0)恒成立，求实数(a)的取值范围，首先求导数(f^{\prime}(x)=e^{x}-a)，当(a\leq1)时，因为(x\geq0)，e^{x}\geq1)，则(f^{\prime}(x)=e^{x}-a\geq1 - a\geq0)，函数(f(x))在([0,+\infty))上单调递增，又因为(f(0)=0)，所以当(x\geq0)时，(f(x)\geq0)恒成立，当(a>1)时，令(f^{\prime}(x)=0)，解得(x=\ln a)，当(0\leq x < \ln a)时，(f^{\prime}(x)=e^{x}-a < 0)，函数单调递减；当(x>\ln a)时，(f^{\prime}(x)=e^{x}-a>0)，函数单调递增，所以函数在(x=\ln a)处取得极小值，又因为要满足当(x\geq0)时，(f(x)\geq0)恒成立，所以极小值必须大于等于零，即(f(\ln a)=e^{\ln a}-a\ln a - 1 = a - a\ln a - 1\geq0)，通过求解这个不等式可以得到(a)的范围，综合起来就可以得到实数(a)的取值范围。
- 导数与函数零点的综合
已知函数(f(x)=x^{3}-3x - a)，讨论函数零点的个数，首先求导数(f^{\prime}(x)=3x^{2}-3=3(x^{2}-1))，令(f^{\prime}(x)=0)，解得(x = 1)或(x=-1)，通过分析函数在不同区间的单调性和极值情况，结合函数值的变化来判断零点的个数，当函数在极大值点的函数值大于零，极小值点的函数值小于零时，函数有三个零点；当极大值点的函数值等于零或极小值点的函数值等于零时，函数有两个零点；当极大值点的函数值小于零或极小值点的函数值大于零时，函数有一个零点；当函数在整个定义域内单调且与(x)轴有交点时，也只有一个零点等情况。
