导数的概念与几何意义相关题型
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求函数在某点的导数值
- 这类题目通常是直接根据导数的定义或者基本初等函数的导数公式来求解，给定函数(f(x)=x^{2})，求(f^{\prime}(3))，根据幂函数的导数公式((x^{n})^{\prime}=nx^{n - 1})，先求出(f^{\prime}(x)=2x)，然后将(x = 3)代入，得到(f^{\prime}(3)=2\times3 = 6)。
- 对于一些由多个基本初等函数经过四则运算组成的函数，需要先化简，再利用导数的运算法则（和差积商法则）求导，如(f(x)=\frac{x^{2}+1}{x - 1})，可以先将其化简为(f(x)=\frac{(x - 1)(x + 1)+2}{x - 1}=x + 1+\frac{2}{x - 1})，然后分别对每一部分求导，再相加得到(f^{\prime}(x)=1-\frac{2}{(x - 1)^{2}})。
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已知导数求原函数中的参数
已知函数(f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx + d)在(x = 1)处的导数(f^{\prime}(1)=3)，且(f(1)=2)，先对(f(x))求导得到(f^{\prime}(x)=3ax^{2}+2bx + c)，将(x = 1)代入导函数和原函数，得到方程组(\begin{cases}3a + 2b+c = 3\a + b+c+d = 2\end{cases})，通过解这个方程组可以求出参数(a,b,c,d)的值。
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利用导数的几何意义求切线方程
- 首先明确导数的几何意义是函数在某一点处的切线斜率，求函数(y = x^{2})在点((1,1))处的切线方程，先求导数(y^{\prime}=2x)，在(x = 1)处的导数值(y^{\prime}=2\times1 = 2)，这就是切线的斜率，然后利用点斜式方程(y - y{0}=k(x - x{0}))，将((1,1))和斜率(k = 2)代入，得到切线方程(y - 1 = 2(x - 1))，化简为(y = 2x - 1)。
- 对于一些抽象函数，如已知(f(x))在(x = a)处可导，且(f(a)=b)，(f^{\prime}(a)=k)，那么函数在((a,b))处的切线方程也是(y - b=k(x - a))。
导数与函数单调性相关题型
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求函数的单调区间
- 一般步骤是先求函数的导数，然后令导数大于(0)解不等式得到函数的递增区间，令导数小于(0)解不等式得到函数的递减区间，对于函数(f(x)=x^{3}-3x^{2})，求导得到(f^{\prime}(x)=3x^{2}-6x)，令(f^{\prime}(x)>0)，即(3x^{2}-6x>0)，解得(x < 0)或(x>2)，所以函数在区间((-\infty,0))和((2,+\infty))上单调递增；令(f^{\prime}(x)<0)，即(3x^{2}-6x<0)，解得(0 < x<2)，所以函数在区间((0,2))上单调递减。
- 对于含有参数的函数，需要对参数进行分类讨论，函数(f(x)=ax^{2}+x + 1)，求其单调区间，先求导(f^{\prime}(x)=2ax + 1)，当(a>0)时，令(f^{\prime}(x)>0)，解得(x>-\frac{1}{2a})，函数在((-\frac{1}{2a},+\infty))上单调递增，在((-\infty,-\frac{1}{2a}))上单调递减；当(a < 0)时，令(f^{\prime}(x)>0)，解得(x<-\frac{1}{2a})，函数在((-\infty,-\frac{1}{2a}))上单调递增，在((-\frac{1}{2a},+\infty))上单调递减；当(a = 0)时，(f^{\prime}(x)=1>0)，函数在(R)上单调递增。
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已知函数的单调性求参数范围
已知函数(f(x)=x^{2}+2ax + 1)在区间([1,2])上单调递增，求实数(a)的取值范围，先求导(f^{\prime}(x)=2x + 2a)，因为函数在([1,2])上单调递增，f^{\prime}(x)\geq0)在([1,2])上恒成立，即(2x + 2a\geq0)，化简得(a\geq - x)，又因为(x\in[1,2])，-x\in[-2,-1])，要使得(a\geq - x)恒成立，只需(a\geq - 1)。
导数与函数极值相关题型
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求函数的极值
- 首先求函数的导数，然后令导数等于(0)求出驻点，对于可导函数，极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点，函数(f(x)=x^{3}-3x)，求导得到(f^{\prime}(x)=3x^{2}-3)，令(f^{\prime}(x)=0)，解得(x = \pm1)，然后判断这两个驻点是否为极值点，可以通过求二阶导数或者利用函数在驻点附近的单调性来判断，这里求二阶导数(f^{\prime\prime}(x)=6x)，当(x = 1)时，(f^{\prime\prime}(1)=6>0)，x = 1)是极小值点，极小值为(f(1)=1 - 3=-2)；当(x=-1)时，(f^{\prime\prime}(-1)=-6<0)，x=-1)是极大值点，极大值为(f(-1)=-1+3 = 2)。
- 对于一些复杂函数，可能需要结合函数的定义域来判断极值，函数(f(x)=\ln x - ax)（(x>0)），求导(f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-a)，令(f^{\prime}(x)=0)，解得(x=\frac{1}{a})，因为(x>0)，所以当(a>0)时，(x=\frac{1}{a})是可能的极值点，再判断单调性，当(x<\frac{1}{a})时，(f^{\prime}(x)>0)，函数单调递增；当(x>\frac{1}{a})时，(f^{\prime}(x)<0)，函数单调递减，x=\frac{1}{a})是极大值点，极大值为(f(\frac{1}{a})=\ln\frac{1}{a}- a\times\frac{1}{a}=-\ln a - 1)。
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已知函数的极值求参数
已知函数(f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx + d)在(x = 1)处取得极小值(-2)，求参数(a,b,c,d)的值，先求导(f^{\prime}(x)=3ax^{2}+2bx + c)，因为(x = 1)是极值点，f^{\prime}(1)=3a + 2b+c = 0)，又因为极小值为(-2)，f(1)=a + b+c+d=-2)，但是仅这两个方程无法确定四个参数，还需要利用二阶导数判断极值的类型，求二阶导数(f^{\prime\prime}(x)=6ax + 2b)，因为(x = 1)是极小值点，f^{\prime\prime}(1)=6a + 2b>0)，通过解这三个方程组成的方程组,可以求出参数的值。
导数与函数最值相关题型
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求函数在闭区间上的最值
- 一般步骤是先求函数的极值，再比较极值和区间端点的函数值，求函数(f(x)=x^{3}-3x^{2}+ 2)在区间([0,3])上的最值，先求导(f^{\prime}(x)=3x^{2}-6x)，令(f^{\prime}(x)=0)，解得(x = 0)或(x = 2)，然后计算函数在极值点和区间端点的值，(f(0)=0 - 0+2 = 2)，(f(2)=8 - 12+2=-2)，(f(3)=27 - 27+2 = 2)，所以函数在区间([0,3])上的最大值是(2)，最小值是(-2)。
- 对于一些分段函数或者含有绝对值的函数，需要先去掉绝对值符号或者分段讨论，再求最值，函数(f(x)=|x^{2}-4x + 3|)，在区间([0,4])上求最值，先将函数写成分段函数的形式，当(x^{2}-4x + 3\geq0)时，即(x\leq1)或(x\geq3)，(f(x)=x^{2}-4x + 3)；当(x^{2}-4x + 3<0)时，即(1 < x<3)，(f(x)=-(x^{2}-4x + 3))，然后分别对每一段求导，找出极值点，再比较极值和区间端点的函数值,从而得到整个区间上的最值。
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已知函数的最值求参数
已知函数(f(x)=ax^{2}+bx + c)在区间([-1,1])上的最大值为(5)，最小值为(-1)，求参数(a,b,c)的值，先求导(f^{\prime}(x)=2ax + b)，令(f^{\prime}(x)=0)，解得(x=- \frac{b}{2a})（当(a eq0)时），然后分情况讨论，当(- \frac{b}{2a}\in[-1,1])时，函数在这一点可能取得极值，同时比较区间端点的函数值；当(- \frac{b}{2a} otin[-1,1])时，函数的最值在区间端点取得，通过这些条件建立方程组,求解参数的值。
导数与不等式证明相关题型
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利用导数证明函数不等式
- 证明当(x>0)时，(\ln(x + 1)>x - \frac{x^{2}}{2})，可以构造函数(f(x)=\ln(x + 1)-x+\frac{x^{2}}{2})，然后求导(f^{\prime}(x)=\frac{1}{x + 1}-1 + x)，化简导数(f^{\prime}(x)=\frac{1 -(x + 1)+x(x + 1)}{x + 1}=\frac{x^{2}}{x + 1})，因为(x>0)，f^{\prime}(x)>0)，函数(f(x))在((0,+\infty))上单调递增，又因为(f(0)=\ln1 - 0+0 = 0)，所以当(x>0)时，(f(x)>0)，即(\ln(x + 1)>x - \frac{x^{2}}{2})。
- 对于一些含有多个变量的不等式，可能需要进行变量分离或者其他变形，再利用导数来证明，证明当(a>b>0)时，(\frac{\ln a-\ln b}{a - b}<\frac{1}{\sqrt{ab}})，可以先将不等式变形为(\ln a-\ln b<\frac{a - b}{\sqrt{ab}})，然后构造函数(f(a)=\ln a-\ln b-\frac{a - b}{\sqrt{ab}})，对(a)求导,通过研究函数的单调性来证明不等式。
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利用不等式求函数的取值范围
已知函数(f(x)=e^{x}-ax - 1)，若不等式(f(x)\geq0)在区间([0,+\infty))上恒成立，求实数(a)的取值范围，先求导(f^{\prime}(x)=e^{x}-a)，若(a\leq1)，当(x\geq0)时，(e^{x}\geq1)，f^{\prime}(x)=e^{x}-a\geq0)，函数(f(x))在区间([0,+\infty))上单调递增，又因为(f(0)=e^{0}-a\times0 - 1 = 0)，所以当(x\geq0)时，(f(x)\geq0)恒成立；若(a>1)，令(f^{\prime}(x)=0)，解得(x=\ln a)，当(0<x<\ln a)时，(f^{\prime}(x)<0)，函数单调递减；当(x>\ln a)时，(f^{\prime}(x)>0)，函数单调递增，所以函数在(x=\ln a)处取得极小值，又因为极小值(f(\ln a)=e^{\ln a}-a\ln a - 1=a - a\ln a - 1<0)（因为(a>1)，\ln a>0)）,这与不等式恒成立矛盾。
