数学中导数是一个重要的知识点，它在函数的单调性、极值、最值以及不等式证明等方面有着广泛的应用,以下是对高中数学导数题型的详细归纳：
求函数的导数
- 基本初等函数的导数
- 对于幂函数(y = x^{\alpha})（(\alpha)为常数），其导数(y'=\alpha x^{\alpha - 1})。(y = x^{3})的导数(y'=3x^{2})。
- 指数函数(y = a^{x})（(a>0)且(a eq1)）的导数(y'=a^{x}\ln a)，如(y = 2^{x})的导数(y'=2^{x}\ln 2)。
- 对数函数(y = \log{a}x)（(a>0)且(a eq1)）的导数(y'=\frac{1}{x\ln a})，像(y = \log{3}x)的导数(y'=\frac{1}{x\ln 3})。
- 三角函数(y = \sin x)的导数(y'=\cos x)，(y = \cos x)的导数(y' = -\sin x)，(y = \tan x)的导数(y'=\sec^{2}x)。
- 和差积商的导数法则
- 和（差）函数的导数，若(y = u(x)\pm v(x))，则(y'=u'(x)\pm v'(x))。(y = x^{2}+\sin x)，其导数(y'=2x + \cos x)。
- 积函数的导数，若(y = u(x)v(x))，则(y'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x))，y = x\cos x)，导数(y'=\cos x - x\sin x)。
- 商函数的导数，若(y=\frac{u(x)}{v(x)})（(v(x) eq0)），则(y'=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}})，y=\frac{\sin x}{x})，导数(y'=\frac{x\cos x-\sin x}{x^{2}})。
利用导数求函数的单调性
- 一般步骤
- 先求函数(y = f(x))的导数(f'(x))。
- 解不等式(f'(x)>0)，所得(x)的取值范围是函数的单调递增区间；解不等式(f'(x)<0)，所得(x)的取值范围是函数的单调递减区间。
- 对于函数(y = x^{3}-3x^{2})，其导数(y'=3x^{2}-6x)，令(y'>0)，即(3x^{2}-6x>0)，解得(x < 0)或(x>2)，所以函数在区间((-\infty,0))和((2,+\infty))上单调递增；令(y'<0)，解得(0 < x<2)，函数在区间((0,2))上单调递减。
利用导数求函数的极值
- 求极值的条件
- 先求函数的导数(f'(x))，令(f'(x)=0)，解出(x)的值，这些(x)是可能的极值点。
- 然后检验这些点两侧导数的符号变化，如果在(x{0})左侧(f'(x)>0)，右侧(f'(x)<0)，则(f(x{0}))是函数的极大值；如果在(x{0})左侧(f'(x)<0)，右侧(f'(x)>0)，则(f(x{0}))是函数的极小值。
- 函数(y = x^{3}-3x)，导数(y'=3x^{2}-3)，令(y' = 0)，解得(x = 1)或(x=-1)，当(x=-1)时，左侧导数（如取(x = -2)）(y'=3×(-2)^{2}-3 = 9>0)，右侧导数（如取(x = 0)）(y'=3×0^{2}-3=-3<0)，x=-1)处有极大值(f(-1)=(-1)^{3}-3×(-1)=2)；当(x = 1)时，左侧导数（如取(x = 0)）(y'=-3<0)，右侧导数（如取(x = 2)）(y'=3×2^{2}-3 = 9>0)，x = 1)处有极小值(f(1)=1^{3}-3×1=-2)。
利用导数求函数的最值
- 在闭区间上的情况
- 先求函数在区间内的极值，再比较极值和区间端点处的函数值，最大（小）者为函数在该闭区间上的最大（小）值。
- 求函数(y = x^{3}-3x+1)在区间([-2,3])上的最值，先求导数(y'=3x^{2}-3)，令(y' = 0)，解得(x = 1)或(x=-1)，计算函数值(f(-2)=(-2)^{3}-3×(-2)+1=-8 + 6+1 = -1)，(f(-1)=(-1)^{3}-3×(-1)+1 = -1 + 3+1 = 3)，(f(1)=1^{3}-3×1+1=-1)，(f(3)=3^{3}-3×3+1 = 27 - 9+1 = 19)，所以函数在区间([-2,3])上的最大值是(19)，最小值是(-1)。
利用导数证明不等式
- 构造函数法
- 根据不等式的形式构造合适的函数，利用导数判断函数的单调性,从而证明不等式。
- 证明当(x>0)时，(\ln(x + 1)>x-\frac{x^{2}}{2})，设(f(x)=\ln(x + 1)-x+\frac{x^{2}}{2})，求导得(f'(x)=\frac{1}{x + 1}-1 + x=\frac{1}{x + 1}+x - 1)，进一步化简可得(f'(x)=\frac{x^{2}}{x + 1}\geq0)（当(x>0)时），所以函数(f(x))在((0,+\infty))上单调递增，又因为(f(0)=\ln 1 - 0+0 = 0)，所以当(x>0)时，(f(x)>0)，即(\ln(x + 1)>x-\frac{x^{2
