初中数学压轴题解题技巧全解析，助你轻松攻克

数学压轴题往往是试卷中难度较大、综合性较强的题目,以下是一些解题技巧：

认真审题

1. 仔细阅读题目
   • 逐字逐句地读题，不放过任何一个细节，题目中的“增加（减少）了”“增加到（减少到）”“至少”“至多”等关键词，这些词汇决定了题目的条件和要求,理解错误就会导致解题方向偏差。
   • 对于有图表的题目，要仔细分析图表中的信息，如坐标系的横纵坐标代表的意义、函数图象的特点、统计图表中数据之间的关系等。
2. 明确已知条件和所求问题
   • 把题目中的已知条件一一列出，包括明显的数值条件、图形的特征条件（如边长、角度关系等）以及隐含的条件（如根据函数性质、几何定理推导出的条件）。
   • 确定所求问题是什么，是求函数解析式、线段长度、角度大小，还是证明某个结论等，在一道几何压轴题中，已知可能是三角形的某些边角关系,所求可能是三角形的面积或者某条边的长。
3. 挖掘隐含条件

   从数学知识和生活实际角度挖掘隐含条件，在几何问题中，如果涉及到实际生活中的物体（如建筑框架），就要考虑物体的稳定性等隐含的几何条件；在函数问题中，根据函数的定义域、值域等基本性质来挖掘隐含条件，在实际问题中求二次函数的最值时，自变量的取值范围可能受到实际意义的限制,这就是一个隐含条件。

知识梳理与联想

1. 回顾相关知识点
   • 根据题目类型，在脑海中快速梳理所学的相关知识，如果是代数压轴题，可能涉及到一元二次方程、二次函数、反比例函数等知识；如果是几何压轴题，会联想到三角形、四边形、圆等几何图形的性质和定理。
   • 对于一道涉及三角形相似的几何压轴题，要回忆三角形相似的判定定理（如AA、SAS、SSS相似定理）和性质（对应边成比例、对应角相等）。
2. 建立知识联系
   • 思考题目中的各个条件之间如何通过所学知识联系起来，在一个函数与几何结合的压轴题中，可能需要通过几何图形的性质来求函数中的参数,或者利用函数的图象和性质来解决几何问题。
   • 以一次函数与矩形面积问题结合为例，矩形的边长变化可能导致面积变化，这就可以通过设边长为未知数，利用矩形面积公式建立函数关系,同时结合函数的增减性来确定最大或最小面积。

解题策略

1. 代数压轴题解题策略
   • 函数问题
     • 对于求函数解析式的题目，首先要确定函数类型，如果是一次函数，一般需要两个点的坐标；如果是二次函数，可能需要三个点的坐标或者利用顶点式、交点式等特殊形式来求解。
     • 已知二次函数与x轴的两个交点坐标为（ - 2，0）和（3，0），可以设函数解析式为y = a(x + 2)(x - 3)，再通过其他条件（如经过某一点）求出a的值。
     • 在研究函数的性质时，如单调性、最值等，要结合函数的图象和系数的关系，对于二次函数y = ax²+bx + c，当a>0时，开口向上，有最低点；当a < 0时，开口向下，有最高点，通过求顶点坐标（ - b/2a，(4ac - b²)/4a）来确定函数的最值。
   • 方程问题
     • 解方程（组）的题目要注意选择合适的解法，对于一元二次方程，有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，如果方程能因式分解,这是最简便的方法。
     • 解方程x² - 3x + 2 = 0，可以因式分解为(x - 1)(x - 2)=0，从而得到x = 1或x = 2。
     • 对于方程组，要观察方程组的特点，若是二元一次方程组，可使用代入消元法或加减消元法；若是二元二次方程组,可能需要通过消元转化为一元二次方程来求解。
2. 几何压轴题解题策略
   • 三角形问题
     • 在三角形中，证明三角形全等或相似是常见的问题，证明全等三角形时，要根据题目所给的条件选择合适的判定定理，已知两边及其夹角对应相等,就可以使用SAS定理来证明全等。
     • 对于相似三角形，要善于发现相等的角或者成比例的边，在平行线分线段成比例的图形中，很容易找到相似三角形,利用对应边成比例来解决问题。
     • 在求三角形的边长或角度时，可以利用三角函数（正弦、余弦、正切）的知识，在直角三角形中，已知一个锐角和一条边,就可以通过三角函数求出其他边的长度。
   • 四边形问题
     • 对于平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊四边形的问题，要熟悉它们的性质和判定定理，平行四边形的对边平行且相等、对角相等；矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边都相等,对角线互相垂直平分。
     • 在解决四边形的问题时，常常需要通过添加辅助线将其转化为三角形问题来解决，在研究矩形的对角线所形成的角的问题时，可以连接对角线,将矩形分成两个全等的直角三角形来研究。
   • 圆的问题
     • 圆的问题涉及到圆的性质，如垂径定理、圆周角定理等,垂径定理是指垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧。
     • 在证明切线时，要注意切线的判定定理（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）和性质（圆的切线垂直于过切点的半径）。
     • 对于圆与三角形、四边形结合的综合题，要善于利用圆的性质和其他几何图形的性质来解决问题，在圆内接四边形中，对角互补,这一性质可以和四边形的其他性质结合起来解题。

步骤书写与检查

1. 规范步骤书写
   • 在解题过程中，要按照一定的逻辑顺序书写步骤，每一步都要有依据，是依据定理、定义还是公式。
   • 在证明几何问题时，要写出“因为……（已知条件或已证结论），…（根据某定理或性质）”的格式，在解方程（组）时，要写出每一步的变形依据，如移项、合并同类项、系数化为1等步骤。
2. 检查答案
   • 检查答案是否合理，在代数问题中，检查求出的解是否符合方程（组）的要求，是否满足实际意义（如人数、长度等不能为负数）。
   • 在几何问题中，检查证明过程是否严密，是否存在漏步、跳步的情况，在证明三角形全等时，要检查是否完整地使用了全等三角形的判定定理，有没有遗漏关键的条件，检查计算结果是否正确，尤其是在涉及三角函数计算和复杂