求函数的导数
- 基本初等函数的导数
- 对于幂函数(y = x^n)（(n)为常数），其导数(y^{\prime}=nx^{n - 1})。(y = x^{3})，则(y^{\prime}=3x^{2})。
- 对于指数函数(y = a^{x})（(a>0)且(a eq1)），导数(y^{\prime}=a^{x}\ln a)，如(y = 2^{x})，(y^{\prime}=2^{x}\ln2)，特别地，当(a = e)时，(y = e^{x})的导数(y^{\prime}=e^{x})。
- 对于对数函数(y=\log{a}x)（(a>0)且(a eq1)），导数(y^{\prime}=\frac{1}{x\ln a})，y=\log{2}x)，(y^{\prime}=\frac{1}{x\ln2})，当(a = e)时，(y=\ln x)，(y^{\prime}=\frac{1}{x})。
- 对于三角函数,(y=\sin x)，(y^{\prime}=\cos x)；(y=\cos x)，(y^{\prime}=-\sin x)；(y=\tan x)，(y^{\prime}=\sec^{2}x)。
- 和差积商的导数法则
- 和差法则：若(y = u(x)\pm v(x))，则(y^{\prime}=u^{\prime}(x)\pm v^{\prime}(x))。(y = x^{2}+\sin x)，则(y^{\prime}=2x + \cos x)。
- 乘法法则：若(y = u(x)v(x))，则(y^{\prime}=u^{\prime}(x)v(x)+u(x)v^{\prime}(x))，y=(x + 1)(x - 1))，先化简为(y = x^{2}-1)，也可以直接用乘法法则，(y^{\prime}=(x + 1)^{\prime}(x - 1)+(x + 1)(x - 1)^{\prime}=1\times(x - 1)+(x + 1)\times1 = 2x)。
- 除法法则：若(y=\frac{u(x)}{v(x)})（(v(x) eq0)），则(y^{\prime}=\frac{u^{\prime}(x)v(x)-u(x)v^{\prime}(x)}{[v(x)]^{2}})。(y=\frac{x + 1}{x - 1})，(y^{\prime}=\frac{(x + 1)^{\prime}(x - 1)-(x + 1)(x - 1)^{\prime}}{(x - 1)^{2}}=\frac{1\times(x - 1)-(x + 1)\times1}{(x - 1)^{2}}=\frac{-2}{(x - 1)^{2}})。
- 复合函数的导数
设(y = f(g(x)))，则(y^{\prime}=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x))。(y=\sin(2x + 1))，令(u = 2x+1)，则(y=\sin u)，(y^{\prime}=\cos u\times u^{\prime}=\cos(2x + 1)\times2 = 2\cos(2x + 1))。
利用导数求函数的单调性
- 一般步骤
- 首先确定函数的定义域。
- 求函数的导数(f^{\prime}(x))。
- 解不等式(f^{\prime}(x)>0)，得到函数的单调递增区间；解不等式(f^{\prime}(x)<0)，得到函数的单调递减区间。
- 示例
对于函数(y = x^{3}-3x^{2})，定义域为(R)，求导得(y^{\prime}=3x^{2}-6x)，令(y^{\prime}>0)，即(3x^{2}-6x>0)，解得(x<0)或(x > 2)，所以函数在区间((-\infty,0))和((2,+\infty))上单调递增；令(y^{\prime}<0)，即(3x^{2}-6x<0)，解得(0<x<2)，所以函数在区间((0,2))上单调递减。
利用导数求函数的极值
- 极值的定义与判定条件
- 设函数(f(x))在点(x{0})处连续，且在(x{0})附近有定义，若(f^{\prime}(x{0}) = 0)，则称(x{0})为函数的临界点，如果在该点附近，左侧导数小于(0)，右侧导数大于(0)，则该点是极小值点；如果左侧导数大于(0)，右侧导数小于(0)，则是极大值点。
- 求解步骤
- 求函数的导数(f^{\prime}(x))。
- 求方程(f^{\prime}(x)=0)的解，得到临界点。
- 判断每个临界点两侧导数的符号变化,确定是极大值点还是极小值点，进而求出极值。
- 示例
对于函数(y = x^{3}-3x^{2}+2)，求导得(y^{\prime}=3x^{2}-6x)，令(y^{\prime}=0)，解得(x = 0)或(x = 2)，对于(x = 0)，当(x<0)时，(y^{\prime}>0)，当(0<x<2)时，(y^{\prime}<0)，x = 0)是极大值点，极大值为(y = 0^{3}-3\times0^{2}+2 = 2)；对于(x = 2)，当(0<x<2)时，(y^{\prime}<0)，当(x>2)时，(y^{\prime}>0)，x = 2)是极小值点，极小值为(y = 2^{3}-3\times2^{2}+2 = -2)。
利用导数求函数的最值
- 闭区间上最值的求法
- 求函数在区间内的导数,找到临界点。
- 计算函数在临界点处的函数值以及区间端点的函数值。
- 比较这些值,最大的就是最大值，最小的就是最小值。
- 示例
求函数(y = x^{3}-3x^{2}+2)在区间([-1,3])上的最值，先求导得(y^{\prime}=3x^{2}-6x)，令(y^{\prime}=0)，解得(x = 0)或(x = 2)，计算函数值：当(x=-1)时，(y=(-1)^{3}-3\times(-1)^{2}+2=-1 - 3+2=-2)；当(x = 0)时，(y = 0^{3}-3\times0^{2}+2 = 2)；当(x = 2)时，(y = 2^{3}-3\times2^{2}+2=-2)；当(x = 3)时，(y = 3^{3}-3\times3^{2}+2 = 27 - 27+2 = 2)，所以函数在区间([-1,3])上的最大值为(2)，最小值为(-2)。
利用导数证明不等式
- 构造函数法
- 根据不等式的结构,构造一个合适的函数。
- 利用导数研究函数的单调性或极值等情况,从而证明不等式。
- 示例
证明当(x>0)时，(\ln(x + 1)>x-\frac{1}{2}x^{2})，构造函数(f(x)=\ln(x + 1)-x+\frac{1}{2}x^{2})，求导得(f^{\prime}(x)=\frac{1}{x + 1}-1 + x=\frac{1}{x + 1}+x - 1)，进一步化简，当(x>0)时，可以分析导数的符号，发现函数在(x>0)时单调递增，又因为当(x = 0)时，(f(0)=0)，所以当(x>0)时，(f(x)>0)，即(\ln(x + 1)>x-\frac{1}{
