高中数学的学习中,导数是一个重要的知识点，它不仅涉及到函数的性质研究，还与不等式、方程、极值等问题紧密相连，以下是对高中数学导数题型的归纳：
导数的概念与几何意义
- 求函数在某点的导数
- 这类题目通常是直接根据导数的定义或者基本初等函数的导数公式来求解,给定函数(f(x)=x^{2})，求(f'(3))，根据幂函数的导数公式((x^{n})' = nx^{n - 1})，先求出(f'(x)=2x)，然后将(x = 3)代入，得到(f'(3)=2\times3 = 6)。
- 对于一些复杂一点的函数,可能需要先对函数进行化简，再利用导数的运算法则（如和差、积商法则）来求导，f(x)=\frac{x^{2}+1}{x - 1})，可以先将其化简为(f(x)=(x + 1)+\frac{2}{x - 1})（通过多项式除法），然后再分别求导。
- 导数的几何意义相关题型
- 已知函数(y = f(x))在点((a,f(a)))处的切线方程为(y = kx + b)，求(f'(a))或者函数中的参数，根据导数的几何意义，(f'(a)=k)，这是解题的关键，已知函数(y = x^{3}+ax + b)在点((1,2))处的切线方程为(y = x + 1)，求(a)和(b)，首先根据点((1,2))在函数上，代入函数可得(2=1 + a+b)，又因为切线的斜率为(1)，f'(1)=3\times1^{2}+a = 1)，由此可以解出(a = - 2)，再代入前面的式子求出(b = 3)。
- 求函数在某点的切线方程,一般步骤是先求函数在该点的导数，得到切线的斜率，然后利用点斜式方程(y - y{0}=k(x - x{0}))来写出切线方程，求函数(y = \sin x)在点((\frac{\pi}{2},1))处的切线方程，先求导(y'=\cos x)，当(x=\frac{\pi}{2})时，(y' = 0)，所以切线的斜率为(0)，切线方程为(y - 1 = 0(x-\frac{\pi}{2}))，即(y = 1)。
导数与函数的单调性
- 求函数的单调区间
- 对于给定的函数(y = f(x))，首先求导(f'(x))，然后解不等式(f'(x)>0)，所得的(x)的取值范围就是函数的单调递增区间；解不等式(f'(x)<0)，所得的(x)的取值范围就是函数的单调递减区间，对于函数(f(x)=x^{3}-3x^{2})，先求导(f'(x)=3x^{2}-6x)，令(f'(x)>0)，即(3x^{2}-6x>0)，解得(x<0)或(x > 2)，所以函数在区间((-\infty,0))和((2,+\infty))上单调递增；令(f'(x)<0)，即(3x^{2}-6x<0)，解得(0<x<2)，所以函数在区间((0,2))上单调递减。
- 在含有参数的函数单调性问题中,需要对参数进行分类讨论，函数(f(x)=ax^{2}+bx + c)（(a eq0)），求其单调区间，先求导(f'(x)=2ax + b)，当(a>0)时，令(f'(x)>0)，即(2ax + b>0)，解得(x>-\frac{b}{2a})，所以函数在区间((-\frac{b}{2a},+\infty))上单调递增，在区间((-\infty,-\frac{b}{2a}))上单调递减；当(a < 0)时，情况则相反。
- 利用单调性证明不等式
思路是构造函数,利用函数的单调性来比较大小，要证明当(x>0)时，(\ln(x + 1)>x-\frac{x^{2}}{2})，可以设函数(f(x)=\ln(x + 1)-x+\frac{x^{2}}{2})，然后求导(f'(x)=\frac{1}{x + 1}-1 + x)，化简(f'(x)=\frac{1 - (x + 1)+x(x + 1)}{x + 1}=\frac{x^{2}}{x + 1})，因为(x>0)，f'(x)>0)，即函数(f(x))在((0,+\infty))上单调递增，又因为(f(0)=0)，所以当(x>0)时，(f(x)>0)，即(\ln(x + 1)>x-\frac{x^{2}}{2})。
导数与函数的极值和最值
- 求函数的极值
- 首先求导(f'(x))，然后求方程(f'(x)=0)的解，这些解称为函数的驻点，接着判断驻点两侧导数的符号变化，如果在驻点左侧导数为正，右侧导数为负，那么该驻点为极大值点；如果在驻点左侧导数为负，右侧导数为正，那么该驻点为极小值点，对于函数(f(x)=x^{3}-3x)，先求导(f'(x)=3x^{2}-3)，令(f'(x)=0)，解得(x = 1)或(x=-1)，当(x<-1)时，(f'(x)=3x^{2}-3>0)；当(-1<x<1)时，(f'(x)=3x^{2}-3<0)；当(x>1)时，(f'(x)=3x^{2}-3>0)，x=-1)是极大值点，(x = 1)是极小值点。
- 对于含有参数的函数极值问题,同样需要考虑参数对导数的影响，函数(f(x)=x^{3}-3ax + a)，求其极值情况，先求导(f'(x)=3x^{2}-3a)，令(f'(x)=0)，解得(x=\pm\sqrt{a})（当(a>0)时），然后根据(a)的不同取值情况来判断极值的存在与否和性质，当(a>0)时，当(x<-\sqrt{a})时，(f'(x)>0)；当(-\sqrt{a}<x< \sqrt{a})时，(f'(x)<0)；当(x> \sqrt{a})时，(f'(x)>0)，x=-\sqrt{a})是极大值点，(x=\sqrt{a})是极小值点；当(a = 0)时，函数没有极值；当(a < 0)时，方程(f'(x)=0)无实数解，函数也没有极值。
- 求函数的最值
- 在闭区间([a,b])上求函数的最值，需要先求函数在该区间内的极值，然后比较极值和端点处的函数值，求函数(f(x)=x^{3}-3x + 1)在区间([- 2,2])上的最值，先求导(f'(x)=3x^{2}-3)，令(f'(x)=0)，解得(x = 1)或(x=-1)，计算函数在极值点和端点处的值：(f(-2)=(-2)^{3}-3\times(-2)+1 = - 8 + 6 + 1 = - 1)，(f(-1)=(-1)^{3}-3\times(-1)+1 = - 1 + 3 + 1 = 3)，(f(1)=1^{3}-3\times1+1 = 1 - 3 + 1 = - 1)，(f(2)=2^{3}-3\times2+1 = 8 - 6 + 1 = 3)，所以函数在区间([-2,2])上的最大值为(3)，最小值为(-1)。
- 在实际问题中,如利润最大化、面积最大等问题，往往需要建立函数模型，然后利用导数求最值来解决，要设计一个矩形场地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围成，铁丝网的全长为(20m)，求矩形的长和宽各是多少时，场地的面积最大，设垂直于墙的一边长为(xm)，则平行于墙的一边长为((20 - 2x)m)，场地面积(S = x(20 - 2x)= - 2x^{2}+20x)，求导(S'= - 4x + 20)，令(S'=0)，解得(x = 5)，当(x = 5)时，平行于墙的一边长为(20 - 2\times5 = 10m)，此时场地面积最大为(5\times10 = 50m^{2})。
导数的综合应用
- 导数与不等式的综合
已知函数(f(x)=e^{x}-ax - 1)，若对于任意(x\in R)，都有(f(x)\geq0)，求实数(a)的取值范围，首先求导(f'(x)=e^{x}-a)，若(a\leq0)，则(f'(x)=e^{x}-a>0)恒成立，函数(f(x))在(R)上单调递增，又因为当(x = 0)时，(f(0)=e^{0}-a\times0 - 1 = 0)，所以当(x < 0)时，(f(x)< f(0)=0)，不符合题意，若(a>0)，令(f'(x)=0)，即(e^{x}-a = 0)，解得(x=\ln a)，当(x< \ln a)时，(f'(x)<0)，函数单调递减；当(x> \ln a)时，(f'(x)>0)，函数单调递增，所以当(x=\ln a)时，函数取得极小值，要使对于任意(x\in R)，都有(f(x)\geq0)，只需极小值(f(\ln a)\geq0)，因为(f(\ln a)=e^{\ln a}-a\ln a - 1 = a - a\ln a - 1\geq0)，即(a - a\ln a - 1\geq0)，解得(0<a\leq1)。
- 导数与方程的综合
已知函数(f(x)=x^{3}-3x + m)，若方程(f(x)=0)有三个不同的实数根，求实数(m)的取值范围，先求导(f'(x)=3x^{2}-3)，令(f'(x)=0)，解得(x = 1)或(x=-1)，当(x<-1)时，(f'(x)>0)；当(-1<x<1)时，(f'(x)<0)；当(x>1)时，(f'(x)>0)，所以函数在(x=-1)处取得极大值，在(x = 1)处取得极小值，要使方程(f(x)=0)有三个不同的实数根，必须满足极大值大于(0)，极小值小于(0)，即(f(-1)=(-1)^{3}-3\times(-1)+m = - 1 + 3 + m = m + 2>0)，且(f(1)=1^{3}-3\times1+m = 1 - 3 + m = m - 2<0)，解得(-2
