求函数的导数
- 基本初等函数的导数
- 对于常数函数(y = c)（(c)为常数），其导数(y^{\prime}=0)，函数(y = 5)，它的导数是(0)，因为常数在坐标系中表示一条水平直线，其斜率为(0)。
- 对于幂函数(y = x^{n})（(n\in Q)），导数(y^{\prime}=nx^{n - 1})，y = x^{3})，则(y^{\prime}=3x^{2})，这里可以这样理解，幂函数的图像是一条曲线，其在某一点处的切线斜率（即导数）与指数和自变量的值有关。
- 对于指数函数(y = a^{x})（(a>0)且(a\neq1)），导数(y^{\prime}=a^{x}\ln a)，以(y = 2^{x})为例，(y^{\prime}=2^{x}\ln2),这是因为指数函数的增长速率与自身的值和底数的自然对数有关。
- 对于对数函数(y=\log{a}x)（(a>0)且(a\neq1)），导数(y^{\prime}=\frac{1}{x\ln a})，y=\log{3}x)，(y^{\prime}=\frac{1}{x\ln3}),对数函数的导数反映了其增长速度随着自变量的变化而变化的情况。
- 对于三角函数，如(y = \sin x)，导数(y^{\prime}=\cos x)；(y = \cos x)，导数(y^{\prime}=-\sin x)；(y=\tan x)，导数(y^{\prime}=\sec^{2}x)，这些导数公式可以通过三角函数的几何意义和极限的定义来推导。(\sin x)的导数是(\cos x)，从单位圆的角度可以理解为，当(x)变化时，(\sin x)的变化率（即导数）与(\cos x)的值有关,它表示了正弦函数图像在某点的切线斜率。
- 导数的运算法则
- 加减法法则：f(x))和(g(x))都可导，[f(x)\pm g(x)]^{\prime}=f^{\prime}(x)\pm g^{\prime}(x))，已知(f(x)=x^{2}+\ln x)，求(f^{\prime}(x))，根据加减法法则，(f^{\prime}(x)=(x^{2})^{\prime}+(\ln x)^{\prime}=2x+\frac{1}{x})。
- 乘法法则：若(f(x))和(g(x))都可导，则([f(x)g(x)]^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x))，设(f(x)=x)，(g(x)=\sin x)，则([f(x)g(x)]^{\prime}=(x)^{\prime}\sin x + x(\sin x)^{\prime}=\sin x + x\cos x)。
- 除法法则：当(g(x)\neq0)且(f(x))和(g(x))都可导时，(\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{[g(x)]^{2}})，求(y=\frac{x + 1}{x - 1})的导数，根据除法法则，(y^{\prime}=\frac{(x + 1)^{\prime}(x - 1)-(x + 1)(x - 1)^{\prime}}{(x - 1)^{2}}=\frac{(1)(x - 1)-(x + 1)(1)}{(x - 1)^{2}}=\frac{-2}{(x - 1)^{2}})。
利用导数求函数的单调性
- 一般步骤
- 首先确定函数的定义域，因为函数的单调性是在其定义域内讨论的，对于函数(y=\frac{1}{x})，定义域是((-\infty,0)\cup(0,+\infty))。
- 求函数的导数(y^{\prime})。
- 分析导数的符号，当(y^{\prime}>0)时，函数在该区间上单调递增；当(y^{\prime}<0)时,函数在该区间上单调递减。
- 例题分析
- 对于函数(y = x^{3}-3x^{2})，定义域为(R)，先求导数(y^{\prime}=3x^{2}-6x)，令(y^{\prime}=0)，即(3x^{2}-6x = 0)，解得(x = 0)或(x = 2)。
- 当(x<0)时，取(x=-1)代入(y^{\prime})，(y^{\prime}=3(-1)^{2}-6(-1)=3 + 6 = 9>0)，所以函数在区间((-\infty,0))上单调递增。
- 当(0<x<2)时，取(x = 1)代入(y^{\prime})，(y^{\prime}=3(1)^{2}-6(1)=3 - 6=-3<0)，所以函数在区间((0,2))上单调递减。
- 当(x>2)时，取(x = 3)代入(y^{\prime})，(y^{\prime}=3(3)^{2}-6(3)=27 - 18 = 9>0)，所以函数在区间((2,+\infty))上单调递增。
利用导数求函数的极值
- 极值的定义
- 设函数(y = f(x))在点(x{0})及其附近有定义，如果对(x{0})附近的所有的点(x)，都有(f(x)<f(x{0}))（或(f(x)>f(x{0}))），那么就说(f(x_{0}))是函数的一个极大值（或极小值）,极大值和极小值统称为极值。
- 求解步骤
- 求函数的导数(f^{\prime}(x))。
- 令(f^{\prime}(x)=0)，解出(x)的值,这些值是可能的极值点。
- 判断这些可能的极值点处是极大值还是极小值，可以使用两种方法：一是利用导数在该点两侧的符号变化来判断，如果导数在左侧为正，右侧为负，那么该点是极大值点；如果导数在左侧为负，右侧为正，那么该点是极小值点；二是使用二阶导数判断，如果函数在(x{0})处有二阶导数，且(f^{\prime\prime}(x{0})<0)，则(x{0})是极大值点，若(f^{\prime\prime}(x{0})>0)，则(x_{0})是极小值点。
- 例题分析
- 对于函数(y = x^{3}-3x^{2}+2)，先求导数(y^{\prime}=3x^{2}-6x)，令(y^{\prime}=0)，解得(x = 0)或(x = 2)。
- 对于(x = 0)，当(x<0)时，(y^{\prime}>0)，当(0<x<2)时，(y^{\prime}<0)，x = 0)是极大值点，极大值为(y = 0^{3}-3\times0^{2}+2 = 2)。
- 对于(x = 2)，当(0<x<2)时，(y^{\prime}<0)，当(x>2)时，(y^{\prime}>0)，x = 2)是极小值点，极小值为(y = 2^{3}-3\times2^{2}+2 = 8 - 12+2 = -2)。
- 也可以求二阶导数来判断，二阶导数(y^{\prime\prime}=6x - 6)，在(x = 0)处，(y^{\prime\prime}=6\times0 - 6=-6<0)，x = 0)是极大值点；在(x = 2)处，(y^{\prime\prime}=6\times2 - 6 = 6>0)，x = 2)是极小值点。
利用导数求函数的最值
- 在闭区间上的情况
- 设函数(y = f(x))在闭区间([a,b])上连续，在开区间((a,b))内可导。
- 先求函数在区间内的极值，然后比较函数在端点(a)、(b)处的值和极值的大小，最大的就是最大值,最小的就是最小值。
- 例题分析
- 对于函数(y = x^{3}-3x^{2}+2)在区间([-1,3])上求最值，先求导数(y^{\prime}=3x^{2}-6x)，令(y^{\prime}=0)，解得(x = 0)或(x = 2)。
- 计算函数在端点和极值点的值：当(x=-1)时，(y=(-1)^{3}-3\times(-1)^{2}+2=-1 - 3+2 = -2)；当(x = 0)时，(y = 0^{3}-3\times0^{2}+2 = 2)；当(x = 2)时，(y = 2^{3}-3\times2^{2}+2 = 8 - 12+2 = -2)；当(x = 3)时，(y = 3^{3}-3\times3^{2}+2 = 27 - 27+2 = 2)。
- 所以函数在区间([-1,3])上的最大值是(2)，最小值是(-2)。
利用导数证明不等式
- 构造函数法
- 根据不等式的形式构造一个函数,通过研究函数的单调性或者极值等情况来证明不等式。
- 证明不等式(\ln x>\frac{2(x - 1)}{x + 1})（(x>1)），构造函数(f(x)=\ln x-\frac{2(x - 1)}{x + 1})，定义域为((1,+\infty))。
- 求导数(f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-\frac{2[(x + 1)-(x - 1)]}{(x + 1)^{2}}=\frac{1}{x}-\frac{4}{(x + 1)^{2}})，进一步化简判断导数的符号，从而得出函数的单调性，再结合函数在(x = 1)处的值来证明不等式。
- 利用中值定理（拉格朗日中值定理）
- 如果函数(f(x))在闭区间([a,b])上连续，在开区间((a,b))内可导，那么至少存在一点(\xi\in(a,b))，使得等式(f^{\prime}(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b - a})成立。
- 证明不等式(\frac{1}{\sqrt{n + 1}}<\sqrt{n}-\sqrt{n - 1}<\frac{1}{\sqrt{n}})（(n>1)且(n\in N^{*})），可以设函数(f(x)=\sqrt{x})，在区间([n - 1,n])上应用拉格朗日中值定理，得到存在(\xi{1}\in(n - 1,n))，使得(\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n - 1}}{n-(n - 1)}={(\sqrt{x})^{\prime}}\vert{x=\xi{1}}=\frac{1}{2\sqrt{\xi{1}}})，因为(\xi{1}\in(n - 1,n))，\frac{1}{2\sqrt{n}}<\frac{1}{2\sqrt{\xi{1}}}<\frac{1}{2\sqrt{n - 1}})，从而可以推出不等式左边部分，同理可
