高中数学导数题型全归纳，掌握解题技巧轻松应考

求函数的导数

基本初等函数的导数
- 对于幂函数，如(y = x^{n})（(n)为常数），其导数(y^{\prime}=nx^{n - 1})。(y = x^{3})，则(y^{\prime}=3x^{2})。
- 对于指数函数(y = a^{x})（(a>0)且(a eq1)），导数(y^{\prime}=a^{x}\ln a)，像(y = 2^{x})，(y^{\prime}=2^{x}\ln2)。
- 对于对数函数(y=\log{a}x)（(a>0)且(a eq1)），导数(y^{\prime}=\frac{1}{x\ln a})，y = \log{3}x)，(y^{\prime}=\frac{1}{x\ln3})。
- 三角函数方面，(y=\sin x)，(y^{\prime}=\cos x)；(y=\cos x)，(y^{\prime}=-\sin x)；(y=\tan x)，(y^{\prime}=\sec^{2}x)等。
和差积商的导数法则运用
- 加法法则：若(y = f(x)+g(x))，则(y^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x))。(y = x^{2}+\sin x)，(y^{\prime}=2x+\cos x)。
- 减法法则：(y = f(x)-g(x))，(y^{\prime}=f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x))。
- 乘法法则：(y = f(x)g(x))，(y^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x))，y=(x + 1)(x^{2}- 3))，先分别求(f(x)=x + 1)和(g(x)=x^{2}- 3)的导数,再利用公式计算。
- 除法法则：(y=\frac{f(x)}{g(x)})（(g(x) eq0)），(y^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{[g(x)]^{2}})。

一般步骤
- 首先确定函数的定义域。
- 求函数的导数(f^{\prime}(x))。
- 解不等式(f^{\prime}(x)>0)，得到函数的单调递增区间；解不等式(f^{\prime}(x)<0),得到函数的单调递减区间。
示例
对于函数(y = x^{3}-3x^{2})，先求导得(y^{\prime}=3x^{2}-6x)，令(y^{\prime}>0)，即(3x^{2}-6x>0)，解得(x<0)或(x>2)，所以函数在区间((-\infty,0))和((2,+\infty))上单调递增；令(y^{\prime}<0)，解得(0<x<2)，函数在区间((0,2))上单调递减。

定义与条件
- 设函数(y = f(x))在点(x{0})及其附近有定义，如果对(x{0})附近的所有点(x)都有(f(x)\leqslant f(x{0}))（或(f(x)\geqslant f(x{0}))），则称(f(x{0}))是函数的一个极大值（或极小值），可导函数(y = f(x))在点(x{0})处取得极值的充要条件是(f^{\prime}(x{0}) = 0)，且当(f^{\prime}(x))在(x{0})两侧符号相反时，(x_{0})为极值点。
求解步骤
- 求导数(f^{\prime}(x))。
- 令(f^{\prime}(x)=0),求出驻点。
- 检验驻点两侧导数的符号变化来确定是否为极值点,并求出极值。
举例
函数(y = x^{3}-3x + 1)，求导得(y^{\prime}=3x^{2}-3)，令(y^{\prime}=0)，解得(x = 1)或(x=-1)，当(x<-1)时，(y^{\prime}>0)；当(-1<x<1)时，(y^{\prime}<0)；当(x>1)时，(y^{\prime}>0)，x=-1)是极大值点，极大值为(f(-1)=3)；(x = 1)是极小值点，极小值为(f(1)=-1)。

在闭区间上的最值
对于连续函数在闭区间([a,b])上，先求函数在该区间内的极值，再比较端点的函数值和极值，最大的就是最大值,最小的就是最小值。
在实际问题中的应用
已知一个矩形的长和宽之和为定值，求矩形面积的最大值，设长为(x)，宽为(L - x)（(L)为定值），面积(S=x(L - x))，通过求导找到极值点,进而确定最大面积。